楕円円周公式

楕円の円周（周長）を正確に計算する公式は、楕円の長半徑 ( a ) と短半徑 ( b ) を用いて表されます。ただし、楕円の円周を厳密に求めることは難しく、完全な閉じた形の公式は存在しません。そのため、近似式がよく用いられます。

楕円の円周の近似式

最も一般的な近似式は、ラマヌジャンによる以下の式です：

[ C \approx \pi \left[ 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right] ]

この式は、楕円の円周を高い精度で近似することが知られています。

その他の近似式

もう一つのよく使われる近似式は、以下の二次近似です：

[ C \approx \pi \left( a + b \right) \left[ 1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}} \right] ]

ここで、( h = \frac{(a - b)^2}{(a + b)^2} ) です。

正確な計算

正確な円周を求めるには、楕円積分を用いる必要があります。楕円の円周 ( C ) は、以下の楕円積分で表されます：

[ C = 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \sin^2 \theta} \, d\theta ]

ここで、( e ) は楕円の離心率で、( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} ) です。

まとめ

楕円の円周を計算する際には、ラマヌジャンの近似式や二次近似式が実用的です。より正確な値を求める場合は、楕円積分を用いる必要がありますが、計算が複雑になるため、通常は近似式が用いられます。